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By Jansen, Klaus

Jansen, Klaus. Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit (de Gruyter, 2008)(ISBN 3110203162)(521s)

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Sei also M eine deterministische Turingmaschine für L2 und p ein Polynom mit TM Ä p. Sei weiter N eine deterministische Turingmaschine, die die Reduktionsfunktion f W † ! † in polynomieller Zeit berechnet, und q ein Polynom mit TN Ä q. A. annehmen, dass die Koeffizienten von p nichtnegative ganze Zahlen sind, p also insbesondere monoton wachsend ist. jxj/: Damit ist dann auch das Wortproblem L1 in polynomieller Zeit lösbar. 9. Eine Sprache L heißt NP-vollständig, wenn L 2 NP und sich jede Sprache aus NP in polynomieller Zeit auf L reduzieren lässt.

Der Fall k D 1 ist offensichtlich trivial. Für k > 2 liegen uns aber NP-vollständige Probleme vor. Wir wollen dies für den Fall k D 3 exemplarisch beweisen. Wir behandeln damit das folgende Problem. 29 (3S AT). Eingabe: Eine aussagenlogische Formel in 3-konjunktiver Normalform. Frage: Ist ˛ erfüllbar? 30. 3S AT ist NP-vollständig. Beweis. Da jede Instanz von 3S AT auch eine Instanz von S AT ist und S AT 2 NP, folgt dies auch für das obige Problem. Wir müssen also nur noch S AT Ä 3S AT zeigen. Dazu werden wir zu jeder Formel ˛ D c1 ^ ^ cm in konjunktiver Normalform über den Variablen X D fx1 ; : : : ; xn g eine Formel ˛ 0 in 3-konjunktiver Normalform so konstruieren, dass ˛ genau dann erfüllbar ist, wenn ˛ 0 erfüllbar ist.

Allerdings wollen wir zunächst zum besseren Verständnis die Hauptideen vorstellen, ohne uns mit zu genauen Betrachtungen der zugrunde liegenden Formalien den Blick für das Wesentliche zu verstellen. jI j/ für ein Polynom p: Wir müssen nun zeigen, wie sich … in polynomieller Zeit auf S AT reduzieren lässt. Der Algorithmus A lässt sich in eine boolesche Formel umwandeln. Dies ist nicht weiter verwunderlich, da Computer, in denen Algorithmen ablaufen, ja nur boolesche Operationen ausführen können.

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